\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=2.5cm}
\usepackage{parskip}

\usepackage{setspace}
\usepackage{longtable}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{2pt}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}

\begin{document}

\date{}

\section*{Plano inclinado -- conservación de la energía}

Dos cuerpos están atados entre sí y dispuestos en un plano inclinado tal como se ve en el dibujo. 
En un momento determinado, los cuerpos se sueltan, de forma que comienzan a deslizarse hacia la derecha. 
¿Cuál es la velocidad del sistema cuando el cuerpo que cuelga a la derecha llega al suelo?

\vspace{0.5cm}

Vamos a calcular las energías inicial (cuando los cuerpos están como se ve en el dibujo) y final 
(cuando el cuerpo B ha llegado al suelo) del sistema:

\[
E^0 = E_C^{0A} + E_P^{0A} + E_C^{0B} + E_P^{0B} = 0 + 0 + 0 + m_B g H
\]

\[
E^f = E_C^{fA} + E_P^{fA} + E_C^{fB} + E_P^{fB}
= \frac{1}{2} m_A v_f^2 + m_A g h_{fA} + \frac{1}{2} m_B v_f^2 + 0
\]

Hemos tenido en cuenta que al estar unidos los cuerpos se mueven con la misma velocidad. 
Respecto a la altura hasta la que sube el cuerpo A cuando el B ha llegado al suelo, 
tenemos que tener en cuenta que A se ha movido una distancia $H$ (que es la que B cae) 
por encima del plano inclinado.

\[
\sin 30^\circ = \frac{h_{fA}}{H} \quad \Rightarrow \quad h_{fA} = H \sin 30^\circ
\]

Igualando las energías final e inicial, y sustituyendo:

\[
E^0 = E^f \Rightarrow m_B g H = \frac{1}{2} m_A v_f^2 + m_A g H \sin 30^\circ + \frac{1}{2} m_B v_f^2
\]

Podemos sacar factor común y despejar la velocidad:

\[
m_B g H = \frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2 + m_A g H \sin 30^\circ
\]

\[
\frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2 = m_B g H - m_A g H \sin 30^\circ
= (m_B - m_A \sin 30^\circ) g H
\]

Sustituyendo:

\[
\frac{1}{2}(5 + 10)v_f^2 = (10 - 5 \cdot 0.5)\cdot 9.8 \cdot 5
\]

\[
v_f = \sqrt{\frac{367.5}{7.5}} = \sqrt{49} = 7 \, \text{m/s}
\]

\newpage

\section*{Nakloněná rovina -- zachování energie }

Dvě tělesa jsou navzájem spojena a umístěná na nakloněné rovině tak, jak je vidět na obrázku. 
V určitém okamžiku se tělesa uvolní, takže se začnou pohybovat směrem doprava. 
Jaká je rychlost soustavy ve chvíli, kdy těleso visící vpravo dosáhne na zem?

\vspace{0.5cm}

Budeme počítat počáteční energii (když jsou tělesa v poloze jako na obrázku) 
a konečnou energii (když těleso dosáhne na zem) soustavy:

\[
E^0 = E_C^{0A} + E_P^{0A} + E_C^{0B} + E_P^{0B} = 0 + 0 + 0 + m_B g H
\]

\[
E^f = E_C^{fA} + E_P^{fA} + E_C^{fB} + E_P^{fB}
= \frac{1}{2} m_A v_f^2 + m_A g h_{fA} + \frac{1}{2} m_B v_f^2 + 0
\]

Vzali jsme v úvahu, že když jsou tělesa spojena, pohybují se stejnou rychlostí. 
Co se týče výšky, do které vystoupá těleso A v okamžiku, kdy těleso B dopadne na zem, 
musíme vzít v úvahu, že A urazilo vzdálenost $H$ (což je vzdálenost, o kterou B klesne) 
po nakloněné rovině.

\[
\sin 30^\circ = \frac{h_{fA}}{H} \quad \Rightarrow \quad h_{fA} = H \sin 30^\circ
\]

Porovnáním počáteční a konečné energie a dosazením:

\[
E^0 = E^f \Rightarrow m_B g H = \frac{1}{2} m_A v_f^2 + m_A g H \sin 30^\circ + \frac{1}{2} m_B v_f^2
\]

Vytkneme společný faktor a vyjádříme rychlost:

\[
m_B g H = \frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2 + m_A g H \sin 30^\circ
\]

\[
\frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2 = m_B g H - m_A g H \sin 30^\circ
= (m_B - m_A \sin 30^\circ) g H
\]

Dosazením:

\[
\frac{1}{2}(5 + 10)v_f^2 = (10 - 5 \cdot 0.5)\cdot 9.8 \cdot 5
\]

\[
v_f = \sqrt{\frac{367.5}{7.5}} = \sqrt{49} = 7 \, \text{m/s}
\]
\newpage

\begin{spacing}{1.2}
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{7cm}
                  >{\raggedright\arraybackslash}p{7cm}}
                
\toprule
\textbf{Španělsky} & \textbf{Česky} \\
\midrule
\endhead
atar
&  svázat \\

el atado
& balík, svazek  \\

estar atados entre sí
&  být navzájem spojeni \\

disponer
&  mít k dispozici; popis polohy předmětu v prostoru \\

dispuesto
& umístěný, připravený  \\

tal como se ve
& tak, jak je vidět  \\

en un momento determinado
&  v určitém okamžiku \\

soltar
& pustit, povolit, uvolnit  \\

de forma que
& takže (výsledek děje)  \\

comenzar a + infinitiv
&  začít něco dělat \\

deslizarse
&  klouzat se, sunout se  \\

colgar 
&  viset, pověsit \\

cuelga a la derecha
&  visící vpravo \\

llegar
&  dosáhnout, dostat se k \\

llegar al suelo
&  dosáhnout země \\

vamos a + infinitiv
&  budeme něco dělat \\

el dibujo
&  kresba, plán, obrázek  \\

como se ve en el dibujo
&  jak je vidět na obrázku \\

hemos tenido en cuenta que
&   vzali jsme do úvahy\\

al + infinitiv
&  když, při \\

al estar unidos
&  když jsou (tělesa) spojena  \\

respecto a
&  co se týče \\

subir
&  stoupat, vystoupit  \\

caer
&  padnout, klesnout  \\

por encima de
& nad   \\

Vuela por encima del mar.
& Letí nad mořem.   \\

igualar
&  porovnat, položit rovno   \\

y sustituyendo
&  a dosazením   \\

sacar factor común
&  vytknout společný faktor   \\

despejar
&   vyjádřit (neznámou)  \\

\bottomrule
\end{longtable}
\end{spacing}

\end{document}