Leonhard Euler pozdravuje
Dušan Polanský
Sinus, cosinus, tangens, kotangens trápí žáky v matematice již na základní škole, přesněji na konci 9. ročníku. Za nás to nebylo jiné. Ovšem je dost mylná představa, dokonce i mezi odborníky, že tyto funkce, obvykle se jim říká trigonometrické nebo goniometrické, jsou perfektně zvládnuté již dlouho. Kdepak, pořádek v nich zavedl až švýcarský matematik a fyzik Leonhard Paul Euler (1707 – 1783), jenž je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších matematiků vůbec, dokonce někdy za největšího matematika všech dob, což je i můj názor.
Do dob L. Eulera bylo v trigonometrii hodně nedořešených problémů a zmatků, kupříkladu vládl chaos v otázce znamének goniometrických funkcí v různých kvadrantech, nemluvě o jednotné symbolice, kupříkladu označování vrcholů trojúhelníku velikými písmeny a protějších stran malými písmeny je také jeho myšlenka, stejně jako pojmenování goniometrických funkcí sin z, cos z atd. Teprve v díle „Úvod do analýzy“ z roku 1748 L. Euler vytvořil z trigonometrie vědu. Největší Eulerovou zásluhou je myšlenka považovat goniometrické funkce za čísla vyjadřující vztahy příslušných goniometrických délek k poloměru kružnice o poloměru 1. Jak jsem se díval do učebnice matematiky pro 9. třídu tahle kružnice tam není vysvětlena, což je, dle mého názoru, metodická chyba. Důvod je prostý, na této kružnici je krásně vidět o goniometrických funkcích toho opravdu hodně, nejen jak se mění jejich hodnoty a znaménka v jednotlivých kvadrantech, ale si lze očima udělat intuitivní představu o přibližné hodnotě té které funkce. Nedalo mi, a tuhle kružnici jsem si dovolil nakreslit, viz obrázek. A na ukázku jsem provedl výpočet hodnot čtyřech základních goniometrických pro úhel 50°. Při výpočtu jsem zohlednil skutečnost, že jednotkový poloměr jsem zvolil rovný 5 cm. Jak vidíte, docela to funguje.
Možná vás trochu zarazilo, že odkud víme, že tg α je vyznačená úsečka. Je to prosté, funkce tangens je definovaná jako poměr protilehlé odvesny k přilehlé, dle toho návodu bychom také klidně mohli tangens jakéhokoliv úhlu spočíst, ovšem je to trochu nešikovné, protože nevyužijeme jedničkový poloměr. Využijeme jej tak, že si uvědomíme, že pravoúhlý troůhelník s koncovým bodem M je podoben trojúhelníku jehož odvesna je právě tg α. A jak víme z geometrie, pokud jde o poměr dvou strán v jakémkoliv trojúhelníku, ten se nezmění pokud jsou si trojúhelníky podobné.
Podobná ůvata platí pro funkci cotangens, ale to již nechám na vás.
Výhody kružnice navržené panem L. Eulerem jdou ještě dál. Z ní se dají názorně odvodit i vztahy mezi goniometrickými funkcemi úhlu α a hodnotami těchto funkcí pro - α, (π/2 - α), (π - α) a (π + α). Chce si to jenom nakreslit uhel α, a k němu postupně úhly - α, (π/2 - α), (π - α) a (π + α) a vizuálně odečíst příslušnou hodnotu. Vyzkoušejte si to.
Je zajímavé, i když zcela logické, že pokud si nedáme pozor a nerespektujeme znaménka goniometrických funkcí ve všech kvadrantech, můžeme klidně dokázat, že 22 = 42. Abych vás o tom přesvědčil, můžete si stáhnou soubor ve formátu .pdf, kde je taková „rovnost“ dokázaná. Současně je vysvětleno, kde se vloudila chybička. Doporučuji k pozornému přečtení.
Ke stažení soubor ve formátu .pdf: Stáhnout dokument (pdf)
Závěr: Při některých výpočtech nestačí uvažovat hodnoty goniometrických funkcí pouze v prvním kvadrantu, ale i v dalších kvadrantech. Abyste si tuhle skutečnost procvičili, doporučuji vám umístit si bod M do druhého, třetího a čtvrtého kvadrantu a určit na základě naší kružnice nejen přibližnou hodnotu goniometrické funkce, ale i znaménko. A vůbec, tuhle kružnici noste v průběhu studia trvale v hlavě. Může se vám totiž lehce stát, že hodnotu některé funkce si zjistíte v kalkulačce nabo v PC, což se dnes děje běžně, jenomže nechtěně jste stiskli nějakou jinou klávesu a mechanicky nesprávnou hodnotu převezmete do výpočtu. Přitom Eulerova kružnice vám jasně ukáže, že takto získaná hodnota je nejen nesprávná podle přibližně odhadnuté hodnoty, ale případně i znaménka.
V Brně 20. června 2026.