Nerovnost |7x − 2| − |3 − x| > 5
Dušan Polanský
Nevím jak vy, ale výpočty s absolutními hodnotami jsem neměl ve škole v oblibě. A pokud si vzpomínám, ani nám je žádný učitel řádně, tedy srozumitelně, nevysvětlil. Tragédie to nebyla, jelikož v praxi jsem se s výpočtem, kde by figurovala absolutní hodnota čísla, nikdy nesetkal. Ale znáte to, učitelé žáky a studenty občas rádi trápí s látkou, která není až tak jednoduchá. Netvrdím, že vyloženě schválně, ale asi proto, že na vyšších stupních škol to budou žáci potřebovat. Nakonec cíl mého textu je podobný.
Pro porozumění textu je dobré znát vyjádření rovnice přímky v tvaru y = kx + q, kde k je směrnice přímky a q je souřadnice bodu na ose y, kde přímka protíná y osu. Pokud vás vyjádření přímky ve tvaru y = kx + q zaskočilo, uvedu malý příklad. Máme nakreslit přímku y = 2x – 2. Směrnice 2 vyjadřuje sklon přímky. 2 je hodnota tangensu úhlu sklonu přímky. Tangens je poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně, tedy kdekoliv vodorovně nanesu 1 jednotku, na jejím konci vztyčím kolmici, na kterou nanesu 2 jednotky. Spojíme začátek úsečky o délce 1 s koncem kolmé úsečky o délce 2. Tím jsme dostali směr přímky. Směr posuneme tak, aby přímka procházela osu y bodě –2. Tím jsme danou přímku nakreslili. Závěr: k je směrnice, která definuje směr přímky a q je hodnota ypsilonové souřadnice, kde přímka osu y protíná.
Druhý postup spočívá v tom, že spočteme souřadnice dvou vhodných bodů, kterými přímka prochází. Vše je zřejmé z obrázku.
Nikde v literatuře, kterou mám, jsem nenarazil na komplexně vyřešený příklad s absolutními hodnotami. Komplexně rozumím nejen výpočetně, ale i geometricky A tak jsme se rozhodl za pomoci AI konat. Budeme spolu řešit nerovnost |7x − 2| − |3 − x| > 5.
Postup bude následující:
- Vyřešíme uvedenou nerovnost klasicky s použitím nulových bodů.
- Spočteme rovnice přímek vyjádřených výrazy |7x − 2| a |3 − x|.
- Přímky zakreslíme a rovněž výslednou křivku, jejíž analytické vyjádření zatím neznáme, ale zatím si ji sestrojíme čistě graficky pomocí několika rozdílů y-souřadnic dvou přímek, vysvětlení viz níže v textu.
- Spočteme rovnici výsledné přímky analytickým postupem.
- Výslednou křivku vyneseme v rovině a graficky najdeme řešení. Mělo by sedět s řešením v bodě č. 1.
Na vkládání obrázků přímo do textu jsem rezignoval, neboť by z toho byla dlouhá nudle. Ale o nic vás neošidím. Každý bod jsem zpracoval za pomoci AI do samostatného souboru ve formátu .pdf, který si za vysvětlením k danému bodu můžete stáhnout, podívat se na něj, potažmo si jej vytisknout. Pokud byste měli se stažením souborů problémy, doporučuji kliknout na zvýrazněný odkaz pravým tlačítkem a zvolit "Otevřít odkaz na nové kartě" a pak si soubor uložit pod názvem, jaký vám vyhovuje. Takže společně do toho!
- Začneme klasický výpočtem pomocí nulových bodů. Vycházíme z toho, že absolutní hodnoty mění své chování v bodech, kde je výraz uvnitř roven nule. To se na střední škole učí, takže si komentář odpustím, vše by mělo být jasné z výpočtu z přiloženého souboru č. 1. Soubor číslo 1: stáhnout ve formátu .pdf
- Vypočet přímek bude obdobou výpočtů v bodě č. 1. Jenom metodu nulových bodů aplikujeme jednotlivě na výrazy |7x − 2| a |3 − x|. Finálně dostaneme rovnice dvou přímek. V textu uvádím, že se jedná o dvě lomené přímky tvaru V. Zatím to berte jenom informativně, klidně tomu zatím nemusíte věřit.
Soubor číslo 2: stáhnout ve formátu .pdf - Teď si přímky, modrou barvou |7x − 2|, a červenou |3 − x|, zakreslíme. Na obrázku vidíte i výslednou křivku, která představuje výsledné řešení, je zakreslena černou barvou. Jak ji lze sestrojit bez analytického výpočtu, který provedeme v dalším bodě? Uvedu postup pro bod x = –1. Na svislici odečteme y souřadnici tohoto bodu pro modrou přímku, je to 8,5 jednotek, poté y souřadnici pro červenou přímku, ta je 4 jednotek. Rozdíl je 8,5 – 4 = 4,5 jednotek. Tedy souřadnice výsledné křivky jsou (–1; 4,5). Pro každou větev výsledné lomené křivky nám stačí určit souřadnice dvou bodů. Kde se přímky protnou, tam nastává lom výsledné křivky.
Soubor číslo 3: stáhnout ve formátu .pdf - V tomto bodě spočteme tvar výsledné lomené přímky analyticky. Opět budeme vycházet z toho, že absolutní hodnoty mění své chování v bodech, kde je výraz uvnitř roven nule. Soubor číslo 4: stáhnout ve formátu .pdf
- 5. Výslednou křivku vyneseme a zakreslíme přímku y = 5, to proto, že levá strana naší nerovnosti musí být větší než 5. Grafický odečet je zřejmý z obrázku. Jinak přesné hodnoty si můžeme analyticky vypočíst jako průnik výsledné lomené přímky a přímky y = 5. Soubor číslo 5: stáhnout ve formátu .pdf
No a to je všechno. Snad vám tohle detailní rozpracování relativně jednoduché nerovnosti s absolutními výrazy trochu pomůže při vašem trápení s matematikou.
V Brně 11. června 2026